ปัญหาของวันเกิด

ปัญหาวันเกิด หรือ ปฏิทรรศน์วันเกิด ^[1] ในเรื่องทฤษฎีความน่าจะเป็น เกี่ยวข้องกับความน่าจะเป็นที่กลุ่มคนซึ่งถูกเลือกโดยการสุ่ม nคน จะมีบางคู่ในกลุ่มที่มีวันเกิดตรงกัน หากพิจารณาตามหลักรังนกพิราบ ความน่าจะเป็นดังกล่าวจะเป็น 100% ถ้าจำนวนคนในกลุ่มมี 367 คน (เนื่องจากวันที่เป็นไปได้ทั้งหมดมี 366 วัน รวม 29 กุมภาพันธ์ด้วย) อย่างไรก็ตาม ความน่าจะเป็น 99% จะเกิดกับกลุ่มคนเพียง 57 คน และความน่าจะเป็น 50% จะเกิดกับกลุ่มคนเพียง 23 คน การสรุปเหล่านี้ใช้พื้นฐานบนสมมติฐานว่า แต่ละวันของปีมีความเป็นไปได้ที่จะเป็นวันเกิดอย่างเท่าเทียมกัน (ยกเว้น 29 กุมภาพันธ์)

คณิตศาสตร์ที่อยู่เบื้องหลังปัญหานี้นำไปสู่ปัญหาการโจมตีทางวิทยาการเข้ารหัสลับอันเป็นที่รู้จักเรียกว่า การโจมตีวันเกิด ซึ่งใช้ตัวแบบความน่าจะเป็นนี้ลดความซับซ้อนในการเจาะฟังก์ชันแฮช

ปัญหาวันเกิดถามว่า คนหนึ่งคนใดในกลุ่มที่กำหนด มีวันเกิดตรงกับคนอื่นคนใดหรือไม่ มิได้ถามเฉพาะเจาะจงว่าตรงกับคนหนึ่งเพียงคนเดียวหรือไม่

ตัวอย่างที่ให้มาก่อนหน้านี้คือกลุ่มคน 23 คน การเปรียบเทียบวันเกิดของคนแรกกับวันเกิดของคนอื่นจะมีโอกาส 22 ครั้งเพื่อหาว่าวันเกิดตรงกันหรือไม่ วันเกิดของคนที่สองกับวันเกิดของคนอื่นก็จะมีโอกาส 21 ครั้ง วันเกิดของคนที่สามก็จะมีโอกาส 20 ครั้ง เป็นเช่นนี้ต่อไปเรื่อย ๆ เพราะฉะนั้นโอกาสรวมทั้งหมดที่จะเปรียบเทียบคือ 22 + 21 + 20 + ... + 1 = 253 ครั้ง ดังนั้นการเปรียบเทียบทุก ๆ คนกับคนอื่นทั้งหมดจะทำได้ 253 วิธีที่แตกต่างกัน (การจัดหมู่) หรือกล่าวได้ว่า กลุ่มคน 23 คนสามารถจับคู่ได้ทั้งหมด ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{23}{2})=\frac{23\cdot 22}{2}=253}$ คู่

สมมติว่าวันเกิดทั้งหมดสามารถเป็นไปได้อย่างเท่าเทียมกัน ^[2][3][4] ความน่าจะเป็นที่วันที่ตั้งขึ้นมาจะเป็นวันเกิดของใครสักคน ซึ่งเลือกมาโดยการสุ่มจากประชากรทั้งหมดอยู่ที่ 

1365

 (ไม่พิจารณาอธิกวารคือ 29 กุมภาพันธ์) ถึงแม้การจับคู่ภายในกลุ่มคน 23 คน ไม่เทียบเท่าเชิงสถิติศาสตร์กับการเลือกคู่โดยอิสระ 253 คู่ ปฏิทรรศน์วันเกิดจะแปลกประหลาดน้อยลง ถ้ากลุ่มคนถูกพิจารณาว่าเป็นจำนวนคู่ที่เป็นไปได้ทั้งหมด มากกว่าที่จะเป็นจำนวนรายคน

ปัญหาคือการคำนวณความน่าจะเป็นโดยประมาณว่า ในกลุ่มคน n คน จะมีอย่างน้อยสองคนที่มีวันเกิดตรงกัน สำหรับกรณีง่ายสุดคือไม่สนใจความแปรปรวนในการแจกแจง เช่นปีอธิกสุรทิน ฝาแฝด ความแปรปรวนเชิงฤดูกาลหรือวันในสัปดาห์ และสมมติว่าวันเกิดที่เป็นไปได้ 365 วันอย่างเท่าเทียมกัน การแจกแจงวันเกิดในชีวิตจริงไม่เป็นเอกรูปเพราะทุกวันมิได้มีโอกาสอย่างเท่าเทียมกัน

ถ้าให้ P(A) คือความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยสองคนในกลุ่มมีวันเกิดตรงกัน เราอาจคำนวณง่ายขึ้นจาก P(A′) คือความน่าจะเป็นที่ไม่มีสองคนใดเลยที่มีวันเกิดตรงกัน เนื่องจาก A และ A′ เป็นความน่าจะเป็นเพียงสองประการที่จะเกิดขึ้นได้และเป็นเหตุการณ์ไม่เกิดร่วม ดังนั้นเราจะได้ P(A) = 1 − P(A′)

คำตอบของปัญหาที่เผยแพร่อย่างกว้างขวางสรุปว่า กลุ่มคน 23 คนก็เพียงพอที่จะทำให้ P(A) มีค่ามากกว่า 50% การคำนวณ P(A) ต่อไปนี้จะใช้กลุ่มคน 23 คนมาเป็นตัวอย่าง

เมื่อเหตุการณ์เป็นอิสระซึ่งกันและกัน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ทั้งหมดที่เกิดขึ้น จะเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น เพราะฉะนั้น P(A′) จึงสามารถแยกได้เป็นเหตุการณ์อิสระ 23 เหตุการณ์ และคำนวณได้จาก P(1) × P(2) × P(3) × ... P(23)

เหตุการณ์อิสระ 23 เหตุการณ์นี้สอดคล้องกับจำนวนคน 23 คนและสามารถนิยามไปตามลำดับ แต่ละเหตุการณ์สามารถนิยามว่าคนนั้นจะไม่มีวันเกิดตรงกับคนอื่นคนใดที่ได้วิเคราะห์ไปแล้วก่อนหน้า สำหรับเหตุการณ์ที่ 1 คือไม่มีคนอื่นคนใดก่อนหน้านี้ให้วิเคราะห์เลย เพราะฉะนั้นความน่าจะเป็น P(1) ซึ่งคนแรกไม่มีวันเกิดตรงกับคนอื่นคนใดที่ได้วิเคราะห์ไปแล้วก่อนหน้าเท่ากับ 1 หรือ 100% หรือเขียนในรูปแบบ 365365 โดยไม่พิจารณาอธิกวารสำหรับการวิเคราะห์นี้ ส่วนเหตุผลจะได้ปรากฏชัดเจนต่อไป

สำหรับเหตุการณ์ที่ 2 คือมีเพียงคนที่หนึ่งที่ได้วิเคราะห์แล้วก่อนหน้านี้ สมมติว่าวันเกิดเป็นไปได้อย่างเท่าเทียมกัน 365 วันเช่นเดิม ความน่าจะเป็น P(2) ซึ่งคนที่สองมีวันเกิดต่างกับคนที่หนึ่งเท่ากับ 364365 นั่นเป็นเพราะถ้าคนที่สองเกิดในวันใดก็ได้ในจำนวน 364 วันที่เหลือ ทำให้คนที่หนึ่งกับคนที่สองมีวันเกิดไม่ตรงกัน

ในทางเดียวกัน ถ้าคนที่สามเกิดในวันใดก็ได้ในจำนวน 363 วันที่เหลือ ทำให้ทั้งคนที่หนึ่ง ที่สอง ที่สาม มีวันเกิดไม่ตรงกันเลย จะได้ความน่าจะเป็น P(3) เท่ากับ 363365

การวิเคราะห์เช่นนี้ดำเนินต่อไปจนกระทั่งถึงคนที่ยี่สิบสาม ซึ่งความน่าจะเป็นที่วันเกิดจะไม่ตรงกับคนที่ได้วิเคราะห์ไปแล้วก่อนหน้านี้เลย P(23) เท่ากับ 343365

P(A′) เท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นรายเหตุการณ์เหล่านี้ นั่นคือ

P(A′) = 365365 × 364365 × 363365 × 362365 × ... × 343365

สมการดังกล่าวสามารถดึงตัวประกอบร่วมได้เป็น

P(A′) = (1365)²³ × (365 × 364 × 363 × 362 × ... × 343)

ประเมินค่าออกมาจะได้ P(A′) ≈ 0.492703

ดังนั้น P(A) ≈ 1 − 0.492703 = 0.507297 หรือ 50.7297%

กระบวนการนี้สามารถทำให้เป็นกรณีทั่วไปสำหรับกลุ่มคน n คน เมื่อ p(n) คือความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยสองคนในกลุ่ม n คนมีวันเกิดตรงกัน เราคำนวณง่ายขึ้นด้วย p̅(n) คือความน่าจะเป็นที่วันเกิดของ n คนแตกต่างกันทั้งหมด ตามหลักรังนกพิราบ p̅(n) จะเป็นศูนย์เมื่อ n > 365 และเมื่อ n ≤ 365 จะได้ว่า

โดยสัญลักษณ์ ! คือตัวดำเนินการแฟกทอเรียล ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{365}{n})}$ คือสัมประสิทธิ์ทวินาม และ ${\displaystyle {}^k{P}_r}$หมายถึงการเรียงสับเปลี่ยน

สมการดังกล่าวแสดงข้อเท็จจริงว่า สำหรับคนที่หนึ่งไม่มีคนใดที่มีวันเกิดตรงกัน (365365) สำหรับคนที่สองก็ไม่มีวันเกิดตรงกับคนที่หนึ่ง (364365) สำหรับคนที่สามก็ไม่มีวันเกิดตรงกับคนที่หนึ่งและที่สอง (363365) ฯลฯ และในกรณีทั่วไปวันเกิดของคนที่ n ก็จะไม่มีวันเกิดตรงกับ n − 1 คนที่อยู่ก่อนหน้า

เหตุการณ์ที่อย่างน้อยสองคนจากกลุ่มคน nคนมีวันเกิดตรงกัน คือเหตุการณ์เติมเต็มที่วันเกิดของ n คนแตกต่างกันทั้งหมด เพราะฉะนั้นความน่าจะเป็น p(n) จะมีค่าเท่ากับ

${\displaystyle p(n)=1-\overline{p}(n)}$

ความน่าจะเป็นนี้มีค่าเกินกว่า 12 เมื่อ n = 23 (ค่าจริงประมาณ 50.7%) ตารางต่อไปนี้แสดงความน่าจะเป็นสำหรับ n อื่น ๆ บางค่า (โดยไม่พิจารณาปีอธิกสุรทินตามที่ได้อธิบายแล้วด้านบน)

กราฟแสดงความน่าจะเป็นโดยประมาณ ที่ไม่มีใครเลยในกลุ่มคน n คนมีวันเกิดตรงกัน สังเกตว่ามาตราส่วนตามแนวตั้งเป็นลอการิทึม (แต่ละขีดจากบนลงล่างลดลงทีละ 10²⁰ เท่า)

n	p(n)
10	11.7%
20	41.1%
23	50.7%
30	70.6%
50	97.0%
57	99.0%
100	99.99997%
200	99.9999999999999999999999999998%
300	(100 − (6×10−80))%
350	(100 − (3×10−129))%
365	(100 − (1.45×10−155))%
366	100%